coursera上斯坦福的算法专项在讲到快速排序时,称其为最优雅的算法之一。快速排序确实是一种比较有效的排序算法,很多类库中也都采用了这种排序算法,其最坏时间复杂度为$O(n^2)$,平均时间复杂度为$O(nlogn)$,且其不需要额外的存储空间。
基本步骤
快速排序主要使用了分治的思想,通过选取一个pivot,将一个数组划分为两个子数组。其步骤为:
1.从数组中选择一个元素作为pivot
2.重新排列数组,小于pivot的在pivot的左边,大于pivot的在其右边。
3.递归地对划分后的左右两部分重复上述步骤。
简单的伪代码如下:
其中最主要的就是partition划分过程了。
划分过程
partition过程需要首先选择一个pivot,然后将小于pivot的元素放到左半部分,大于pivot的放到右半部分,并且最终pivot的位置及为其在排序好的数组中的最终位置。
这里使用第一个元素作为pivot,若选择其他元素作为pivot,则将其交换到第一个元素,这样可以保证代码的一致性及容易实现。示意图如下:
这里使用i和j,i和j最初为p+1的位置,在遍历的过程中i始终指向>p的第一个元素,j始终指向当前待遍历的元素,若a[j] < p,则将其与a[i]进行交换。相关过程如下:
基本实现如下:
1 | /** |
基本实现
1 | public class QuickSort { |
pivot的选取
根据斯坦福算法专项课,然我们实现三种不同的pivot选取方式,并计算相应比较次数,分别为choose first, choose last, median of three, 还可以进行随机选取,这也是快速排序为什么是一种随机化算法。
pivot的选取决定了快速排序的运行时间,下面对几种特殊情况进行分析:
1.最坏情况
假设我们始终选取第一个元素作为pivot, 并且输入数组是有序的,那么每次划分后面所有元素都大于pivot, 每次只能将问题规模减少1,所以运行时间为$n+n-1+n-2+…+1$ = $O(n^2)$.
2.最好情况
最好情况为每次选取的pivot都能将数组平均地划分为两部分,由于划分的过程为$O(n)$,所以总的运行时间为$$T(n) = 2T(n/2) + O(n)$$根据主方法,时间复杂度为O(nlogn)。
3.随机选取
每次运行过程中,随机选取pivot, 通常能得到比较好的结果。
选取方式及实现
斯坦福算法专项课上让我们实现三种不同的选取方式,选取第一个,最后一个,以及三数取中。
1.choose first
该种方式最为简单,只需返回子数组的第一个元素下标即可,下面为其实现:
1 | //返回pivot下标 选择第一个元素 |
2.choose last
选择最后一个元素,实现如下:
1 | //选择最后一个元素作为pivot |
3.median-of-three
选取第一个、最后一个以及中间的元素的中位数,如4 5 6 7, 第一个4, 最后一个7, 中间的为5, 这三个数的中位数为5, 所以选择5作为pivot,8 2 5 4 7, 三个元素分别为8 5 7, 中位数为7, 所以选择最后一个元素7作为pivot,其实现如下:
1 | //median-of-three pivot rule |
最后的划分过程如下:
1 | private static int partition(int[] a, int l, int r) { |
注意最后的划分过程相比于之前增加的pivot的选取方式,而不是单纯地将第一个元素作为pivot, 可以看到,若第一个元素不是pivot, 需要将pivot与第一个元素进行交换,这样保证代码的统一性。
总结与感想
1.学会体会这些算法背后的思想,为什么要这样设计
2.对于比较复杂的算法,学会使用特殊情况进行分析
参考资料:
(1) coursera斯坦福算法专项课part1
(2) 维基百科快速排序